= 
+
{
,
} = +{,}The equation can be multiplied with 
to obtain an equation of motion term which contains no covariant derivatives (partial integration):
= -
= - 
(
- 
).
We restrict to the + of ±.
We start by writing out the covariant derivatives:
![lh0 = CovariantNabla[UChiMinus[x], x, {μ}]](../HTMLFiles/index_24.gif){kind=small}
![öÆ^† '6 (∂ _ μ(χ) '6 öÆ^† + χ '6 ∂ _ μ(öÆ)^†) - 1/2 ((öÆ^† '6 χ '6 öÆ^† - öÆ '6 χ^† '6 öÆ) '6 (öÆ^† '6 ∂ _ μ(öÆ) + öÆ '6 ∂ _ μ(öÆ)^† + 1/2 i (öÆ^† '6 (Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] + Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->]) '6 öÆ) + 1/2 i (öÆ '6 (Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] - Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->]) '6 öÆ^†))) + 1/2 ((öÆ^† '6 ∂ _ μ(öÆ) + öÆ '6 ∂ _ μ(öÆ)^† + 1/2 i (öÆ^† '6 (Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] + Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->]) '6 öÆ) + 1/2 i (öÆ '6 (Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] - Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->]) '6 öÆ^†)) '6 (öÆ^† '6 χ '6 öÆ^† - öÆ '6 χ^† '6 öÆ)) - öÆ '6 (∂ _ μ(χ)^† '6 öÆ + χ^† '6 ∂ _ μ(öÆ)) + ∂ _ μ(öÆ)^† '6 χ '6 öÆ^† - ∂ _ μ(öÆ) '6 χ^† '6 öÆ](../HTMLFiles/index_27.gif)
![1/2 (∂ _ μ(öÆ)^† '6 χ '6 öÆ^†) + öÆ^† '6 ∂ _ μ(χ) '6 öÆ^† + 1/2 (öÆ^† '6 χ '6 ∂ _ μ(öÆ)^†) - 1/2 (∂ _ μ(öÆ) '6 χ^† '6 öÆ) - öÆ '6 ∂ _ μ(χ)^† '6 öÆ - 1/2 (öÆ '6 χ^† '6 ∂ _ μ(öÆ)) + 1/4 i (öÆ^† '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 χ '6 öÆ^†) + 1/4 i (öÆ^† '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 χ '6 öÆ^†) + 1/4 i (öÆ^† '6 χ '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ^†) - 1/4 i (öÆ^† '6 χ '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ^†) + 1/4 i (öÆ '6 χ^† '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ) + 1/4 i (öÆ '6 χ^† '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ) + 1/4 i (öÆ '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 χ^† '6 öÆ) - 1/4 i (öÆ '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 χ^† '6 öÆ) + 1/2 (∂ _ μ(öÆ)^† '6 öÆ '6 öÆ '6 χ^† '6 öÆ) - 1/2 (öÆ^† '6 χ '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 ∂ _ μ(öÆ)) - 1/2 (∂ _ μ(öÆ) '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 χ '6 öÆ^†) + 1/2 (öÆ '6 χ^† '6 öÆ '6 öÆ '6 ∂ _ μ(öÆ)^†) - 1/4 i (öÆ^† '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ '6 öÆ '6 χ^† '6 öÆ) - 1/4 i (öÆ^† '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ '6 öÆ '6 χ^† '6 öÆ) - 1/4 i (öÆ^† '6 χ '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ) - 1/4 i (öÆ^† '6 χ '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ) - 1/4 i (öÆ '6 χ^† '6 öÆ '6 öÆ '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ^†) + 1/4 i (öÆ '6 χ^† '6 öÆ '6 öÆ '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ^†) - 1/4 i (öÆ '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 χ '6 öÆ^†) + 1/4 i (öÆ '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 χ '6 öÆ^†)](../HTMLFiles/index_29.gif)
![rh0 = NM[Adjoint[SMM[x]], CovariantFieldDerivative[UChiMatrix[x], x, {μ}], Adjoint[SMM[x]]] - NM[SMM[x], Adjoint[CovariantFieldDerivative[UChiMatrix[x], x, {μ}]], SMM[x]] + I/2 UAntiCommutator[USmall[μ][x], UChiPlus[x]]](../HTMLFiles/index_30.gif){kind=small}
![1/2 i (χ _ + '6 u _ μ + u _ μ '6 χ _ +) + öÆ^† '6 (∂ _ μ(χ) + 1/2 i ((Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] + Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->]) '6 χ) - 1/2 i (χ '6 (Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] - Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->]))) '6 öÆ^† - öÆ '6 (∂ _ μ(χ)^† - 1/2 i (χ^† '6 (Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] + Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->])) + 1/2 i ((Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] - Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->]) '6 χ^†)) '6 öÆ](../HTMLFiles/index_31.gif)
![rh1 = rh0 /. $Substitutions /. MM[x] -> NM[SMM[x], SMM[x]]](../HTMLFiles/index_32.gif){kind=small}
![öÆ^† '6 (∂ _ μ(χ) + 1/2 i ((Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] + Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->]) '6 χ) - 1/2 i (χ '6 (Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] - Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->]))) '6 öÆ^† - öÆ '6 (∂ _ μ(χ)^† - 1/2 i (χ^† '6 (Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] + Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->])) + 1/2 i ((Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] - Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->]) '6 χ^†)) '6 öÆ + 1/2 i (i (öÆ^† '6 (∂ _ μ(öÆ) '6 öÆ + öÆ '6 ∂ _ μ(öÆ) + 1/2 i ((Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] + Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->]) '6 öÆ '6 öÆ) - 1/2 i (öÆ '6 öÆ '6 (Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] - Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->]))) '6 öÆ^† '6 (öÆ^† '6 χ '6 öÆ^† + öÆ '6 χ^† '6 öÆ)) + i ((öÆ^† '6 χ '6 öÆ^† + öÆ '6 χ^† '6 öÆ) '6 öÆ^† '6 (∂ _ μ(öÆ) '6 öÆ + öÆ '6 ∂ _ μ(öÆ) + 1/2 i ((Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] + Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->]) '6 öÆ '6 öÆ) - 1/2 i (öÆ '6 öÆ '6 (Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] - Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->]))) '6 öÆ^†))](../HTMLFiles/index_33.gif)
![1/2 (∂ _ μ(öÆ)^† '6 χ '6 öÆ^†) + öÆ^† '6 ∂ _ μ(χ) '6 öÆ^† + 1/2 (öÆ^† '6 χ '6 ∂ _ μ(öÆ)^†) - 1/2 (∂ _ μ(öÆ) '6 χ^† '6 öÆ) - öÆ '6 ∂ _ μ(χ)^† '6 öÆ - 1/2 (öÆ '6 χ^† '6 ∂ _ μ(öÆ)) + 1/4 i (öÆ^† '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 χ '6 öÆ^†) + 1/4 i (öÆ^† '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 χ '6 öÆ^†) + 1/4 i (öÆ^† '6 χ '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ^†) - 1/4 i (öÆ^† '6 χ '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ^†) + 1/4 i (öÆ '6 χ^† '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ) + 1/4 i (öÆ '6 χ^† '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ) + 1/4 i (öÆ '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 χ^† '6 öÆ) - 1/4 i (öÆ '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 χ^† '6 öÆ) + 1/2 (∂ _ μ(öÆ)^† '6 öÆ '6 öÆ '6 χ^† '6 öÆ) - 1/2 (öÆ^† '6 χ '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 ∂ _ μ(öÆ)) - 1/2 (∂ _ μ(öÆ) '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 χ '6 öÆ^†) + 1/2 (öÆ '6 χ^† '6 öÆ '6 öÆ '6 ∂ _ μ(öÆ)^†) - 1/4 i (öÆ^† '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ '6 öÆ '6 χ^† '6 öÆ) - 1/4 i (öÆ^† '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ '6 öÆ '6 χ^† '6 öÆ) - 1/4 i (öÆ^† '6 χ '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ) - 1/4 i (öÆ^† '6 χ '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ) - 1/4 i (öÆ '6 χ^† '6 öÆ '6 öÆ '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ^†) + 1/4 i (öÆ '6 χ^† '6 öÆ '6 öÆ '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ^†) - 1/4 i (öÆ '6 Overscript[A^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 χ '6 öÆ^†) + 1/4 i (öÆ '6 Overscript[V^( ) _ μ, ->] · Overscript[σ, ->] '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 χ '6 öÆ^†)](../HTMLFiles/index_35.gif)
The right- and left-hand sides agree:
![diff = Collect[rh - lh /. Adjoint[UMatrix[(sp : (UChiralSpurionLeft | UChiralSpurionRight))[]][x]] -> UMatrix[sp[]][x] // UReduce // CommutatorReduce // Expand, _NM]](../HTMLFiles/index_36.gif)
Alternatively, we might leave the covariant derivatives unevaluated and use the Leibniz rule on products:
![SetOptions[CovariantFieldDerivative, Explicit -> False] ;](../HTMLFiles/index_38.gif){kind=small}
![lh0 = UTrace[NM[USmall[μ][x], CDr[UChiMinus[x], x, {μ}]]]](../HTMLFiles/index_39.gif){kind=small}
![lh = lh1 //. CDr -> FDr /. FDr -> CDr // UReduce[#, SMMToMM -> True] &](../HTMLFiles/index_43.gif){kind=small}
![rh0 = UTrace[NM[USmall[μ][x], NM[Adjoint[SMM[x]], CovariantFieldDerivative[UChiMatrix[x], x, {μ}], Adjoint[SMM[x]]] - NM[SMM[x], Adjoint[CovariantFieldDerivative[UChiMatrix[x], x, {μ}]], SMM[x]]]] + I UTrace[NM[USmall[μ][x], USmall[μ][x], UChiPlus[x]]]](../HTMLFiles/index_45.gif)
![rh = rh1 // UReduce[#, SMMToMM -> True] &](../HTMLFiles/index_49.gif){kind=small}
This results in an obscure identity involving the covariant derivative on 
which is unknown:
![diff = Collect[rh - lh // UReduce[#, SMMToMM -> True] & // Expand, _UTrace1]](../HTMLFiles/index_52.gif){kind=small}
Converted by Mathematica (July 10, 2003)