•Two-vertex amplitude of fourth order in the chiral expansion

lag = Lagrangian[ChPTVirtualPhotons2[4]] /. QuantumField[Particle[(LeftComponent | RightComponent)[0], ___], ___, SUNIndex[0], ___] -> 0

(k _ 12^( ) (< Q '6 Q > '6 < Q '6 Q >) + k _ 13^( ) (< Q '6 ÷„ '6 Q '6 ÷„^† > '6 < Q '6 Q >) + k _ 14^( ) (< Q '6 ÷„ '6 Q '6 ÷„^† > '6 < Q '6 ÷„ '6 Q '6 ÷„^† >)) (f _ π^(ó  ))^4 + (k _ 5^( ) ((< ÷„^† '6 χ > + < χ^† '6 ÷„ >) '6 < Q '6 Q >) + k _ 6^( ) ((< ÷„^† '6 χ > + < χ^† '6 ÷„ >) '6 < Q '6 ÷„ '6 Q '6 ÷„^† >) + k _ 1^( ) (< ÷s _ μ(÷„)^† '6 ÷s _ μ(÷„) > '6 < Q '6 Q >) + k _ 2^( ) (< ÷s _ μ(÷„)^† '6 ÷s _ μ(÷„) > '6 < Q '6 ÷„ '6 Q '6 ÷„^† >) + k _ 7^( ) ((< (÷„ '6 χ^† + χ '6 ÷„^†) '6 Q > + < (÷„^† '6 χ + χ^† '6 ÷„) '6 Q >) '6 < Q >) + k _ 4^( ) (< ÷s _ μ(÷„)^† '6 Q '6 ÷„ > '6 < ÷s _ μ(÷„) '6 Q '6 ÷„^† >) + k _ 3^( ) (< ÷s _ μ(÷„)^† '6 Q '6 ÷„ > '6 < ÷s _ μ(÷„)^† '6 Q '6 ÷„ > + < ÷s _ μ(÷„) '6 Q '6 ÷„^† > '6 < ÷s _ μ(÷„) '6 Q '6 ÷„^† >) + k _ 11^( ) (< c _ μ^L Q _ L '6 c _ μ^L Q _ L > + < c _ μ^R Q _ R '6 c _ μ^R Q _ R >) + k _ 9^( ) (< ÷s _ μ(÷„)^† '6 (c _ μ^R Q _ R '6 Q - Q '6 c _ μ^R Q _ R) '6 ÷„ > + < ÷s _ μ(÷„) '6 (c _ μ^L Q _ L '6 Q - Q '6 c _ μ^L Q _ L) '6 ÷„^† >) + k _ 10^( ) < c _ μ^R Q _ R '6 ÷„ '6 c _ μ^L Q _ L '6 ÷„^† > + k _ 8^( ) (< (χ '6 ÷„^† - ÷„ '6 χ^†) '6 Q '6 ÷„ '6 Q '6 ÷„^† > + < (χ^† '6 ÷„ - ÷„^† '6 χ) '6 Q '6 ÷„^† '6 Q '6 ÷„ >)) (f _ π^(ó  ))^2 - 1/16 l _ 7^( ) ((< χ^† '6 ÷„ > - < ÷„^† '6 χ >) '6 (< χ^† '6 ÷„ > - < ÷„^† '6 χ >)) + 1/16 l _ 3^( ) ((< ÷„^† '6 χ > + < χ^† '6 ÷„ >) '6 (< ÷„^† '6 χ > + < χ^† '6 ÷„ >)) + 1/4 l _ 1^( ) (< ÷s _ μ(÷„)^† '6 ÷s _ μ(÷„) > '6 < ÷s _ ν(÷„)^† '6 ÷s _ ν(÷„) >) + 1/4 l _ 2^( ) (< ÷s _ μ(÷„)^† '6 ÷s _ ν(÷„) > '6 < ÷s _ μ(÷„)^† '6 ÷s _ ν(÷„) >) + 1/2 (h _ 1^( ) - h _ 3^( )) Re({χ}) + k _ 15^( ) (γ^( ) _ (μ ν) '6 γ^( ) _ (μ ν)) < Q '6 Q > + 1/4 (h _ 1^( ) + h _ 3^( )) < χ^† '6 χ > + 1/4 l _ 4^( ) (< ÷s _ μ(÷„)^† '6 ÷s _ μ(χ) > + < ÷s _ μ(χ)^† '6 ÷s _ μ(÷„) >) + l _ 5^( ) < G _ (μ ν)^R '6 G _ (μ ν)^L^† > - h _ 2^( ) (< G _ (μ ν)^L '6 G _ (μ ν)^L > + < G _ (μ ν)^R '6 G _ (μ ν)^R >) + 1/2 i l _ 6^( ) (< G _ (μ ν)^L '6 ÷s _ μ(÷„)^† '6 ÷s _ ν(÷„) > + < G _ (μ ν)^R '6 ÷s _ μ(÷„) '6 ÷s _ ν(÷„)^† >)

ll = ArgumentsSupply[lag, x, RenormalizationState[0], DiagonalToU -> True, ExpansionOrder -> 0, DropOrder -> 0] ;

lll = DiscardTerms[ll, Retain -> {Particle[Photon, RenormalizationState[0]] -> 2}, Method -> Expand] /. $Substitutions // Simplify

1/144 (e^( ))^2 (-(e^( ))^2 k _ 10^( ) < σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ > (f _ π^(ó  ))^2 - 2 (e^( ))^2 k _ 11^( ) < σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ > (f _ π^(ó  ))^2 + (e^( ))^2 k _ 10^( ) < σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 > (f _ π^(ó  ))^2 + 2 (e^( ))^2 k _ 11^( ) < σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 > (f _ π^(ó  ))^2 + (e^( ))^2 k _ 10^( ) < γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ > (f _ π^(ó  ))^2 + 2 (e^( ))^2 k _ 11^( ) < γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ > (f _ π^(ó  ))^2 - (e^( ))^2 k _ 10^( ) < γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 > (f _ π^(ó  ))^2 - 2 (e^( ))^2 k _ 11^( ) < γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 > (f _ π^(ó  ))^2 + 3 (e^( ))^2 k _ 10^( ) < σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ > (f _ π^(ó  ))^2 + 6 (e^( ))^2 k _ 11^( ) < σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ > (f _ π^(ó  ))^2 - 3 (e^( ))^2 k _ 10^( ) < σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 > (f _ π^(ó  ))^2 - 6 (e^( ))^2 k _ 11^( ) < σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 > (f _ π^(ó  ))^2 - 3 (e^( ))^2 k _ 10^( ) < γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ > (f _ π^(ó  ))^2 - 6 (e^( ))^2 k _ 11^( ) < γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ > (f _ π^(ó  ))^2 + 3 (e^( ))^2 k _ 10^( ) < γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 > (f _ π^(ó  ))^2 + 6 (e^( ))^2 k _ 11^( ) < γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 > (f _ π^(ó  ))^2 - 9 (e^( ))^2 k _ 10^( ) < σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ > (f _ π^(ó  ))^2 - 18 (e^( ))^2 k _ 11^( ) < σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ > (f _ π^(ó  ))^2 + 9 (e^( ))^2 k _ 10^( ) < σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 > (f _ π^(ó  ))^2 + 18 (e^( ))^2 k _ 11^( ) < σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 > (f _ π^(ó  ))^2 + 9 (e^( ))^2 k _ 10^( ) < σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ > (f _ π^(ó  ))^2 + 18 (e^( ))^2 k _ 11^( ) < σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ > (f _ π^(ó  ))^2 - 9 (e^( ))^2 k _ 10^( ) < σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 > (f _ π^(ó  ))^2 - 18 (e^( ))^2 k _ 11^( ) < σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 '6 σ^3 '6 γ^( ) _ μ '6 σ^3 > (f _ π^(ó  ))^2 + 8 k _ 15^( ) (∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó ) - 8 k _ 15^( ) (∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó ) - 8 k _ 15^( ) (∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó ) + 8 k _ 15^( ) (∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó ) + 36 k _ 15^( ) (∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó ) < σ^3 '6 σ^3 > - 36 k _ 15^( ) (∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó ) < σ^3 '6 σ^3 > - 36 k _ 15^( ) (∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó ) < σ^3 '6 σ^3 > + 36 k _ 15^( ) (∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó ) < σ^3 '6 σ^3 > - 8 h _ 2^( ) (2 (∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó ) - 2 (∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó ) - 2 (∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó ) + 2 (∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó ) + 9 < σ^3 '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  '6 σ^3 '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  > - 9 < σ^3 '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  '6 σ^3 '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  > - 9 < σ^3 '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  '6 σ^3 '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  > + 9 < σ^3 '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  '6 σ^3 '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  >) + 4 l _ 5^( ) (2 (∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó ) - 2 (∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó ) - 2 (∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó ) + 2 (∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó ) + 9 < σ^3 '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  '6 σ^3 > - 9 < σ^3 '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  '6 σ^3 > - 9 < σ^3 '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  '6 ∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  '6 σ^3 > + 9 < σ^3 '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  '6 ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó  '6 σ^3 >))

llll = lll // CommutatorReduce // ExpandU // CommutatorReduce // Simplify

5/9 (e^( ))^2 (l _ 5^( ) - 2 h _ 2^( ) + k _ 15^( )) (∂ _ μ γ^( ) _ ν^ó  - ∂ _ ν γ^( ) _ μ^ó )^2

fields = {QuantumField[Particle[Photon, RenormalizationState[0]], LorentzIndex[μ1]][p1], QuantumField[Particle[Photon, RenormalizationState[0]], LorentzIndex[μ2]][p2]}

{γ^( ) _ μ _ 1, γ^( ) _ μ _ 2}

amp4 = (-I FeynRule[llll, fields]) // Simplify

20/9 (e^( ))^2 (l _ 5^( ) - 2 h _ 2^( ) + k _ 15^( )) (p _ 2^μ _ 1 p _ 1^μ _ 2 - g^(μ _ 1 μ _ 2) p _ 1 · p _ 2)

ampf4 = Pair[LorentzIndex[μ1, D], Momentum[Polarization[p1, i], D]] (-Pair[LorentzIndex[μ2, D], Momentum[Polarization[p2, -i], D]] ) amp4 // Contract // Simplify

20/9 (e^( ))^2 (l _ 5^( ) - 2 h _ 2^( ) + k _ 15^( )) (p _ 1 · p _ 2 µ ( p _ 1 ) · µ^* ( p _ 2 ) - p _ 1 · µ^* ( p _ 2 ) p _ 2 · µ ( p _ 1 ))

Converted by Mathematica  (July 10, 2003)