•Splitting in components

We now want to express the result as

ξ^k _ 1 (-d _ μ^(k _ 1 j) d _ μ^(j k _ 2) + Y^(k _ 1 k _ 2)) ξ^k _ 2

with X anti-hermitian and Y hermitian and

d _ μ^(k _ 1 k _ 2) = δ^(k _ 1 k _ 2)∂ _ μ + X _ μ^(k _ 1 k _ 2).

That is, as

ξ^k _ 1 (-δ^(k _ 1 k _ 2)∂ _ μ∂ _ μ - X _ μ^(k _ 1 j)X _ μ^(j k _ 2) - δ^(k _ 1 j)(∂ _ μ X _ μ^(j k _ 2)) - 2 δ^(k _ 1 j) X _ μ^(j k _ 2)∂ _ μ + Y^(k _ 1 k _ 2)) ξ^k _ 2.

The third term doesn't contribute because of the anti-hermiticity of X.

dd = sss - (sss /. {QuantumField[PartialD[a_], Particle[UPerturbation], ___][_] * QuantumField[PartialD[b_], Particle[UPerturbation], ___][_] -> 0, QuantumField[PartialD[a_], Particle[UPerturbation], ___][_]^2 -> 0}) // IndicesCleanup

(∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ μ _ 1^ó )^2 + λ ∂ _ μ _ 2 ξ^( ) _ μ _ 2^ó  ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ μ _ 1^ó  + 1/2 < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 > ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 2 - ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ μ _ 2^ó  ∂ _ μ _ 2 ξ^( ) _ μ _ 1^ó 

dd // ExpandUGenerators

(∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ μ _ 1^ó )^2 + λ ∂ _ μ _ 2 ξ^( ) _ μ _ 2^ó  ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ μ _ 1^ó  + δ _ (k _ 1 k _ 2)^(2) ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 2 - ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ μ _ 2^ó  ∂ _ μ _ 2 ξ^( ) _ μ _ 1^ó 

The non-derivative part of the Y and X contribution.

xxy = sss /. QuantumField[PartialD[LorentzIndex[_]], __][x] -> 0 // FullSimplify

1/(4 (f _ π^(ó  ))^2) (2 ξ^( ) _ μ _ 1 (f _ π^(ó  ) < H _ L '6 H _ L > ξ^( ) _ μ _ 1 + (2 < ∇ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 1 > - < ∂ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 1 > + i (< H _ R '6 σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 > - < H _ R '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 1 >)) ξ^( )^k _ 1) (f _ π^(ó  ))^3 + ((< χ _ + '6 σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 > - 4 < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 > - < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 '6 u _ μ _ 1 > + 4 < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > + < σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 >) (f _ π^(ó  ))^2 + 2 C^( ) (< σ^k _ 1 '6 H _ L '6 σ^k _ 2 '6 H _ L > - < σ^k _ 1 '6 H _ R '6 σ^k _ 2 '6 H _ R > - < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 H _ L '6 H _ L > + < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 H _ R '6 H _ R >)) ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)


We may split this in a symmetric and an anti-symmetric part of which only the
symmetric part contributes:

xxyS = (If[yo = Sort[Union[Cases[#, SUNIndex[__], Infinity, Heads -> True]]] ; yo === {SUNIndex[k1], SUNIndex[k2]}, Symmetrize[#, {k1, k2}], #] & /@ Expand[NMExpand[xxy]]) // CycleUTraces // FullSimplify

1/(8 (f _ π^(ó  ))^2) (4 ξ^( ) _ μ _ 1 (f _ π^(ó  ) < H _ L '6 H _ L > ξ^( ) _ μ _ 1 + (2 < ∇ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 1 > - < ∂ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 1 > + i (< H _ R '6 σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 > - < H _ R '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 1 >)) ξ^( )^k _ 1) (f _ π^(ó  ))^3 + ((< χ _ + '6 σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 > + < χ _ + '6 σ^k _ 2 '6 σ^k _ 1 > - 4 < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 > - < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 '6 u _ μ _ 1 > + 8 < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > - 4 < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 > + 2 < σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 > - < σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 >) (f _ π^(ó  ))^2 + 2 C^( ) (-< σ^k _ 1 '6 H _ L '6 H _ L '6 σ^k _ 2 > + 2 < σ^k _ 1 '6 H _ L '6 σ^k _ 2 '6 H _ L > + < σ^k _ 1 '6 H _ R '6 H _ R '6 σ^k _ 2 > - 2 < σ^k _ 1 '6 H _ R '6 σ^k _ 2 '6 H _ R > - < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 H _ L '6 H _ L > + < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 H _ R '6 H _ R >)) ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)

xxyS // Expand

1/2 (f _ π^(ó  ))^2 < H _ L '6 H _ L > ξ^( ) _ μ _ 1^2 + f _ π^(ó  ) < ∇ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( ) _ μ _ 1 - 1/2 f _ π^(ó  ) < ∂ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( ) _ μ _ 1 + 1/2 i f _ π^(ó  ) < H _ R '6 σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( ) _ μ _ 1 - 1/2 i f _ π^(ó  ) < H _ R '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( ) _ μ _ 1 + 1/8 < χ _ + '6 σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 + 1/8 < χ _ + '6 σ^k _ 2 '6 σ^k _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 - (C^( ) < σ^k _ 1 '6 H _ L '6 H _ L '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(4 (f _ π^(ó  ))^2) + (C^( ) < σ^k _ 1 '6 H _ L '6 σ^k _ 2 '6 H _ L > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(2 (f _ π^(ó  ))^2) + (C^( ) < σ^k _ 1 '6 H _ R '6 H _ R '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(4 (f _ π^(ó  ))^2) - (C^( ) < σ^k _ 1 '6 H _ R '6 σ^k _ 2 '6 H _ R > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(2 (f _ π^(ó  ))^2) - (C^( ) < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 H _ L '6 H _ L > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(4 (f _ π^(ó  ))^2) + (C^( ) < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 H _ R '6 H _ R > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(4 (f _ π^(ó  ))^2) - 1/2 < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 - 1/8 < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 '6 u _ μ _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 + < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 - 1/2 < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 + 1/4 < σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 - 1/8 < σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2

The part 2X _ μ ∂^μ:

Expand[sss - xxy - dd // IndicesCleanup // CycleUTraces]

1/2 f _ π^(ó  ) < H _ L '6 σ^k _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ μ _ 1^ó  - 1/2 f _ π^(ó  ) < H _ L '6 σ^k _ 1 > ξ^( ) _ μ _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 1 + < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 2 - < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 2

xd = Expand[sss - xxy - dd // IndicesCleanup // CycleUTraces] /. kroneckerRules

1/2 f _ π^(ó  ) δ _ (μ _ 1, k _ 2) < H _ L '6 σ^k _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 2 - 1/2 f _ π^(ó  ) δ _ (μ _ 1, k _ 1) < H _ L '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 2 + < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 2 - < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 2

X:

X[Sequence @@ ((Pattern1[#[[1]], Blank[]] & /@ Union[Cases[xd, LorentzIndex[__], Infinity, Heads -> True]]) /. Pattern1 -> Pattern)] = -xd/2 /. QuantumField[___, Particle[UPerturbation], ___][x] -> 1 // Simplify

1/4 (f _ π^(ó  ) (δ _ (μ _ 1, k _ 1) < H _ L '6 σ^k _ 2 > - δ _ (μ _ 1, k _ 2) < H _ L '6 σ^k _ 1 >) - 2 < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > + 2 < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 >)

Componentized version:

X[Sequence @@ ((Pattern1[#[[1]], Blank[]] & /@ Union[Cases[X[μ1], SUNIndex[__], Infinity, Heads -> True]]) /. Pattern1 -> Pattern), μ1_] = X[μ1] ;

?? X

Global`X

X[μ1_] = 1/4 (DecayConstant[PseudoScalar[2]] (-KroneckerDelta[LorentzIndex[μ1], SUNIndex[k2]] UTrace1[NM[HLeft[x], UMatrix[UGenerator[SUNIndex[k1]]]]] + KroneckerDelta[LorentzIndex[μ1], SUNIndex[k1]] UTrace1[NM[HLeft[x], UMatrix[UGenerator[SUNIndex[k2]]]]]) - 2 UTrace1[NM[UMatrix[UGenerator[SUNIndex[k1]]], UMatrix[UGenerator[SUNIndex[k2]]], UGamma[LorentzIndex[μ1]][x]]] + 2 UTrace1[NM[UMatrix[UGenerator[SUNIndex[k1]]], UGamma[LorentzIndex[μ1]][x], UMatrix[UGenerator[SUNIndex[k2]]]]])
X[k1_, k2_, μ1_] = 1/4 (DecayConstant[PseudoScalar[2]] (-KroneckerDelta[LorentzIndex[μ1], SUNIndex[k2]] UTrace1[NM[HLeft[x], UMatrix[UGenerator[SUNIndex[k1]]]]] + KroneckerDelta[LorentzIndex[μ1], SUNIndex[k1]] UTrace1[NM[HLeft[x], UMatrix[UGenerator[SUNIndex[k2]]]]]) - 2 UTrace1[NM[UMatrix[UGenerator[SUNIndex[k1]]], UMatrix[UGenerator[SUNIndex[k2]]], UGamma[LorentzIndex[μ1]][x]]] + 2 UTrace1[NM[UMatrix[UGenerator[SUNIndex[k1]]], UGamma[LorentzIndex[μ1]][x], UMatrix[UGenerator[SUNIndex[k2]]]]])

The square of X.

Xdiag[j_, k_, μ1_] = Select[Expand[X[j, k, μ1]], FreeQ[#, _KroneckerDelta] &]

1/2 < σ^j '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k > - 1/2 < σ^j '6 σ^k '6 Γ _ μ _ 1 >

Xoffdiag[j_, k_, μ1_] = Select[Expand[X[j, k, μ1]], (! FreeQ[#, KroneckerDelta[_LorentzIndex, SUNIndex[k]]]) &]

-1/4 f _ π^(ó  ) δ _ (μ _ 1, k) < H _ L '6 σ^j >

NM[Xdiag[k1, j, μ1], Xdiag[j, k2, μ1]] // NMExpand // Expand // CommutatorReduce // SUNReduce // CycleUTraces // CommutatorReduce // Expand

1/2 < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 > - < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > + 1/2 < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 >

-NM[Xoffdiag[j, k1, μ1], Xdiag[j, k2, μ1]] // NMExpand // Expand // CommutatorReduce // SUNReduce // CycleUTraces // CommutatorReduce // Expand

1/4 f _ π^(ó  ) δ _ (μ _ 1, k _ 1) < H _ L '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 > - 1/4 f _ π^(ó  ) δ _ (μ _ 1, k _ 1) < H _ L '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 >

NM[Xdiag[k1, j, μ1], Xoffdiag[j, k2, μ1]] // NMExpand // Expand // CommutatorReduce // SUNReduce // CycleUTraces // CommutatorReduce // Expand

1/4 f _ π^(ó  ) δ _ (μ _ 1, k _ 2) < H _ L '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 1 > - 1/4 f _ π^(ó  ) δ _ (μ _ 1, k _ 2) < H _ L '6 σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 >

-NM[Xoffdiag[j, k1, μ1], Xoffdiag[j, k2, μ1]] // NMExpand // Expand // CommutatorReduce // SUNReduce // CycleUTraces // CommutatorReduce // Expand

((f _ π^(ó  ))^2 δ _ (μ _ 1, k _ 1) δ _ (μ _ 1, k _ 2) < H _ L >^2)/(8 n) - 1/8 (f _ π^(ó  ))^2 δ _ (μ _ 1, k _ 1) δ _ (μ _ 1, k _ 2) < H _ L '6 H _ L >

-NM[Xoffdiag[k1, j, μ1], Xoffdiag[k2, j, μ1]] // NMExpand // Expand // CommutatorReduce // SUNReduce // CycleUTraces // CommutatorReduce // Expand

-1/16 (f _ π^(ó  ))^2 δ _ (μ _ 1, j)^2 < H _ L '6 σ^k _ 1 > < H _ L '6 σ^k _ 2 >

NM[( ), ( )] Γ X Γ X + + X 0 X 0

( + ) X '6 X + Γ '6 Γ Γ '6 X + + X '6 Γ X '6 X

XXold = (NM[X[k1, j, μ1], X[j, k2, μ1]] // NMExpand // Expand // CommutatorReduce // SUNReduce // CycleUTraces // CommutatorReduce // Expand) //. projectionRules // Simplify

1/(8 n) ((δ _ (μ _ 1, k _ 1) δ _ (μ _ 1, k _ 2) (< H _ L >^2 - n < H _ L '6 H _ L >) - 2 n < H _ L '6 σ^k _ 1 > < H _ L '6 σ^k _ 2 >) (f _ π^(ó  ))^2 - 2 n (δ _ (μ _ 1, k _ 2) (< H _ L '6 σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 > - < H _ L '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 1 >) + δ _ (μ _ 1, k _ 1) (< H _ L '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > - < H _ L '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 >)) f _ π^(ó  ) + 4 n (< σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 > - 2 < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > + < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 >))

XX = (NM[Xdiag[k1, j, μ1], Xdiag[j, k2, μ1]] - NM[Xoffdiag[j, k1, μ1], Xdiag[j, k2, μ1]] + NM[Xdiag[k1, j, μ1], Xoffdiag[j, k2, μ1]] - NM[Xoffdiag[j, k1, μ1], Xoffdiag[j, k2, μ1]] - NM[Xoffdiag[k1, j, μ1], Xoffdiag[k2, j, μ1]] // NMExpand // Expand // CommutatorReduce // SUNReduce // CycleUTraces // CommutatorReduce // Expand) //. projectionRules // Simplify

1/(8 n) ((δ _ (μ _ 1, k _ 1) δ _ (μ _ 1, k _ 2) (< H _ L >^2 - n < H _ L '6 H _ L >) - 2 n < H _ L '6 σ^k _ 1 > < H _ L '6 σ^k _ 2 >) (f _ π^(ó  ))^2 - 2 n (δ _ (μ _ 1, k _ 2) (< H _ L '6 σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 > - < H _ L '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 1 >) + δ _ (μ _ 1, k _ 1) (< H _ L '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > - < H _ L '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 >)) f _ π^(ó  ) + 4 n (< σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 > - 2 < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > + < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 >))

XX - XXold // Expand

0

xx = QuantumField[Particle[UPerturbation], SUNIndex[k1]][x] XX QuantumField[Particle[UPerturbation], SUNIndex[k2]][x] // HLeftRightTrick // NMExpand // Expand // IndicesCleanup // CycleUTraces // Simplify

1/(8 n) (((δ _ (μ _ 1, k _ 1) δ _ (μ _ 1, k _ 2) (< H _ L >^2 - n < H _ L '6 H _ L >) - 2 n < H _ L '6 σ^k _ 1 > < H _ L '6 σ^k _ 2 >) (f _ π^(ó  ))^2 + 4 n δ _ (μ _ 1, k _ 1) (< ∂ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 2 > - < ∇ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 2 >) f _ π^(ó  ) + 4 n (< σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 > - 2 < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > + < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 >)) ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)

The field strength associated with X is [σ^k _ 1,σ^k _ 2] times the field strength associated with Γ:

XFST[k1_, k2_, μ1_, μ2_] = (FieldDerivative[X[k1, k2, μ2], x, {μ1}] - FieldDerivative[X[k1, k2, μ1], x, {μ2}] + NM[X[k1, j, μ1], X[j, k2, μ2]] - NM[X[k1, j, μ2], X[j, k2, μ1]] // NMExpand // Expand // CommutatorReduce // SUNReduce // CycleUTraces // IndicesCleanup[#, IsoDummys -> {"j", "j", "j"}] & // CommutatorReduce // Expand) //. projectionRules // HLeftRightTrick // NMExpand // Expand // IndicesCleanup[#, IsoDummys -> {"j", "j", "j"}] & // CycleUTraces (* // HLeftRightTrick // NMExpand // Expand *) // Simplify

-1/(8 n) ((δ _ (μ _ 1, k _ 2) δ _ (μ _ 2, k _ 1) - δ _ (μ _ 1, k _ 1) δ _ (μ _ 2, k _ 2)) (< H _ L >^2 - n < H _ L '6 H _ L >) (f _ π^(ó  ))^2 + 2 n (δ _ (μ _ 2, k _ 2) < ∇ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 1 > - δ _ (μ _ 2, k _ 1) < ∇ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 2 > - δ _ (μ _ 1, k _ 2) < ∇ _ μ _ 2(H _ L) '6 σ^k _ 1 > + δ _ (μ _ 1, k _ 1) < ∇ _ μ _ 2(H _ L) '6 σ^k _ 2 >) f _ π^(ó  ) - 4 n (< ∂ _ μ _ 2(Γ _ μ _ 1) '6 σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 > - < ∂ _ μ _ 2(Γ _ μ _ 1) '6 σ^k _ 2 '6 σ^k _ 1 > - < ∂ _ μ _ 1(Γ _ μ _ 2) '6 σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 > + < ∂ _ μ _ 1(Γ _ μ _ 2) '6 σ^k _ 2 '6 σ^k _ 1 > - < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 2 > + < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > + < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 2 '6 σ^k _ 2 > - < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 >))

The parts coming from Y:

y = (Expand[NMExpand[(xxyS (* // HLeftRightTrick *)) (* - *) + xx]] // NMExpand // Expand // CycleUTraces) //. {KroneckerDelta[a_LorentzIndex, b_SUNIndex] c_ :> (c /. {b -> a}), KroneckerDelta[b_SUNIndex, a_LorentzIndex] c_ :> (c /. {b -> a})} (* // HLeftRightTrick *) // NMExpand // Expand // CycleUTraces // IndicesCleanup // UReduce // Expand

(< H _ L >^2 ξ^( ) _ μ _ 1^2 (f _ π^(ó  ))^2)/(8 n) + 3/8 < H _ L '6 H _ L > ξ^( ) _ μ _ 1^2 (f _ π^(ó  ))^2 - 1/4 < H _ L '6 σ^k _ 1 > < H _ L '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 (f _ π^(ó  ))^2 + 1/2 < ∇ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 1 > ξ^( ) _ μ _ 1 ξ^( )^k _ 1 f _ π^(ó  ) + 1/2 i < H _ R '6 σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 > ξ^( ) _ μ _ 1 ξ^( )^k _ 1 f _ π^(ó  ) - 1/2 i < H _ R '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 1 > ξ^( ) _ μ _ 1 ξ^( )^k _ 1 f _ π^(ó  ) + 1/4 < χ _ + '6 σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 - 1/8 < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 '6 u _ μ _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 + 1/4 < σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 - 1/8 < σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 - (C^( ) < σ^k _ 1 '6 H _ L '6 H _ L '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(4 (f _ π^(ó  ))^2) + (C^( ) < σ^k _ 1 '6 H _ L '6 σ^k _ 2 '6 H _ L > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(2 (f _ π^(ó  ))^2) + (C^( ) < σ^k _ 1 '6 H _ R '6 H _ R '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(4 (f _ π^(ó  ))^2) - (C^( ) < σ^k _ 1 '6 H _ R '6 σ^k _ 2 '6 H _ R > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(2 (f _ π^(ó  ))^2) - (C^( ) < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 H _ L '6 H _ L > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(4 (f _ π^(ó  ))^2) + (C^( ) < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 H _ R '6 H _ R > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(4 (f _ π^(ó  ))^2)

y0 = (Select[y, (! FreeQ[#, QuantumField[Particle[UPerturbation], LorentzIndex[_]][_]]) &] + Symmetrize[Select[y, FreeQ[#, QuantumField[Particle[UPerturbation], LorentzIndex[_]][_]] &], {k1, k2}] // CycleUTraces) /. kroneckerRules1 // Expand

(δ _ (μ _ 1, k _ 1) δ _ (μ _ 1, k _ 2) < H _ L >^2 ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 (f _ π^(ó  ))^2)/(8 n) + 3/8 δ _ (μ _ 1, k _ 1) δ _ (μ _ 1, k _ 2) < H _ L '6 H _ L > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 (f _ π^(ó  ))^2 - 1/4 < H _ L '6 σ^k _ 1 > < H _ L '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 (f _ π^(ó  ))^2 + 1/2 δ _ (μ _ 1, k _ 1) < ∇ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 f _ π^(ó  ) + 1/2 i δ _ (μ _ 1, k _ 1) < H _ R '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 f _ π^(ó  ) - 1/2 i δ _ (μ _ 1, k _ 1) < H _ R '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 f _ π^(ó  ) + 1/8 < χ _ + '6 σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 + 1/8 < χ _ + '6 σ^k _ 2 '6 σ^k _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 - 1/8 < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 '6 u _ μ _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 + 1/4 < σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 - 1/8 < σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2 - (C^( ) < σ^k _ 1 '6 H _ L '6 H _ L '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(4 (f _ π^(ó  ))^2) + (C^( ) < σ^k _ 1 '6 H _ L '6 σ^k _ 2 '6 H _ L > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(2 (f _ π^(ó  ))^2) + (C^( ) < σ^k _ 1 '6 H _ R '6 H _ R '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(4 (f _ π^(ó  ))^2) - (C^( ) < σ^k _ 1 '6 H _ R '6 σ^k _ 2 '6 H _ R > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(2 (f _ π^(ó  ))^2) - (C^( ) < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 H _ L '6 H _ L > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(4 (f _ π^(ó  ))^2) + (C^( ) < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 H _ R '6 H _ R > ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)/(4 (f _ π^(ó  ))^2)

y1 = Symmetrize[Select[y0, (Count[#, _KroneckerDelta, Infinity] === 1) &], {k1, k2}] + Select[y0, (Count[#, _KroneckerDelta, Infinity] =!= 1) &] // FullSimplify

1/(8 n (f _ π^(ó  ))^2) (((δ _ (μ _ 1, k _ 1) δ _ (μ _ 1, k _ 2) (< H _ L >^2 + 3 n < H _ L '6 H _ L >) - 2 n < H _ L '6 σ^k _ 1 > < H _ L '6 σ^k _ 2 >) (f _ π^(ó  ))^4 + 2 n (δ _ (μ _ 1, k _ 2) (< ∇ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 1 > + i (< H _ R '6 σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 > - < H _ R '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 1 >)) + δ _ (μ _ 1, k _ 1) (< ∇ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 2 > + i (< H _ R '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 > - < H _ R '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 >))) (f _ π^(ó  ))^3 + n (< χ _ + '6 σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 > + < χ _ + '6 σ^k _ 2 '6 σ^k _ 1 > - < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 '6 u _ μ _ 1 > + 2 < σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 > - < σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 >) (f _ π^(ó  ))^2 + 2 n C^( ) (-< σ^k _ 1 '6 H _ L '6 H _ L '6 σ^k _ 2 > + 2 < σ^k _ 1 '6 H _ L '6 σ^k _ 2 '6 H _ L > + < σ^k _ 1 '6 H _ R '6 H _ R '6 σ^k _ 2 > - 2 < σ^k _ 1 '6 H _ R '6 σ^k _ 2 '6 H _ R > - < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 H _ L '6 H _ L > + < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 H _ R '6 H _ R >)) ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2)

Componentized version:

Y[k1_, k2_] = y1 /. QuantumField[___, Particle[UPerturbation], SUNIndex[_]][x] -> 1 ;

The result can then be written:

res = dd + xx + xd + y1 // Simplify

1/8 (8 (∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ μ _ 1^ó )^2 + 8 λ ∂ _ μ _ 2 ξ^( ) _ μ _ 2^ó  ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ μ _ 1^ó  + 1/n (((δ _ (μ _ 1, k _ 1) δ _ (μ _ 1, k _ 2) (< H _ L >^2 - n < H _ L '6 H _ L >) - 2 n < H _ L '6 σ^k _ 1 > < H _ L '6 σ^k _ 2 >) (f _ π^(ó  ))^2 + 4 n δ _ (μ _ 1, k _ 1) (< ∂ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 2 > - < ∇ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 2 >) f _ π^(ó  ) + 4 n (< σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 > - 2 < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > + < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 >)) ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2) + 1/(n (f _ π^(ó  ))^2) (((δ _ (μ _ 1, k _ 1) δ _ (μ _ 1, k _ 2) (< H _ L >^2 + 3 n < H _ L '6 H _ L >) - 2 n < H _ L '6 σ^k _ 1 > < H _ L '6 σ^k _ 2 >) (f _ π^(ó  ))^4 + 2 n (δ _ (μ _ 1, k _ 2) (< ∇ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 1 > + i (< H _ R '6 σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 > - < H _ R '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 1 >)) + δ _ (μ _ 1, k _ 1) (< ∇ _ μ _ 1(H _ L) '6 σ^k _ 2 > + i (< H _ R '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 > - < H _ R '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 >))) (f _ π^(ó  ))^3 + n (< χ _ + '6 σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 > + < χ _ + '6 σ^k _ 2 '6 σ^k _ 1 > - < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 '6 u _ μ _ 1 > + 2 < σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 u _ μ _ 1 > - < σ^k _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 u _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 >) (f _ π^(ó  ))^2 + 2 n C^( ) (-< σ^k _ 1 '6 H _ L '6 H _ L '6 σ^k _ 2 > + 2 < σ^k _ 1 '6 H _ L '6 σ^k _ 2 '6 H _ L > + < σ^k _ 1 '6 H _ R '6 H _ R '6 σ^k _ 2 > - 2 < σ^k _ 1 '6 H _ R '6 σ^k _ 2 '6 H _ R > - < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 H _ L '6 H _ L > + < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 H _ R '6 H _ R >)) ξ^( )^k _ 1 ξ^( )^k _ 2) + 4 f _ π^(ó  ) δ _ (μ _ 1, k _ 2) < H _ L '6 σ^k _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 2 - 4 f _ π^(ó  ) δ _ (μ _ 1, k _ 1) < H _ L '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 2 + 8 < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 '6 Γ _ μ _ 1 > ξ^( )^k _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 2 - 8 < σ^k _ 1 '6 Γ _ μ _ 1 '6 σ^k _ 2 > ξ^( )^k _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 2 + 4 < σ^k _ 1 '6 σ^k _ 2 > ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 1 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ ó ^k _ 2 - 8 ∂ _ μ _ 1 ξ^( ) _ μ _ 2^ó  ∂ _ μ _ 2 ξ^( ) _ μ _ 1^ó )

Converted by Mathematica  (July 10, 2003)