Configuration:  "ChPTVirtualPhotons3"

•Preliminaries

Cosmetics:

VariableBoxes["k"] ; VariableBoxes["τ"] ; VariableBoxes["ρ"] ;

Keep things compact:

DeclareUScalar[UTrace1]

SetOptions[#, Explicit -> False] & /@ {MM, SMM, UChi, FieldStrengthTensorFull, FieldStrengthTensor, CovariantFieldDerivative, LeftComponent, RightComponent} ;

SetOptions[SUNReduce, FullReduce -> True] ; SetOptions[UReduce, FullReduce -> True] ; SetOptions[IndicesCleanup, LorentzDummys -> {"μ", "μ", "μ", "μ", "μ"}] ;

IsoVector[QuantumField[Particle[LeftComponent[0] | RightComponent[0]], LorentzIndex[_]]][_] := 0 ;

QuantumField[Particle[lr : (LeftComponent[0] | RightComponent[0])], r___, SUNIndex[0]][x_] := QuantumField[Particle[lr], r][x] ;

UTrace1[FieldStrengthTensorFull[LorentzIndex[μ1_], QuantumField[Particle[LeftComponent[0] | RightComponent[0]], LorentzIndex[μ2_]][x_], x_, ___]] := 0 ;

$UMatrices = Union[$UMatrices, {LeftComponent[0], RightComponent[0]}]

CQLeft | CQRight | GLeft | GRight | H _ L | H _ R | ÷„ | öÆ | χ | χ _ - | χ _ + | UFMinus | UFPlus | UGamma | Q | USmall | L | R

We use k1 and k2 for the indices with 7 values - 3 SU(3) and 4 Lorentz values.

projectionRules = {HoldPattern[KroneckerDelta[LorentzIndex[μ_], SUNIndex[j_]] UMatrix[UGenerator[SUNIndex[j_]]]] -> 0, HoldPattern[KroneckerDelta[LorentzIndex[μ_], SUNIndex[j_]] NM[___, UMatrix[UGenerator[SUNIndex[j_]]], ___]] -> 0, HoldPattern[KroneckerDelta[LorentzIndex[μ_], SUNIndex[j_]] UTrace1[NM[___, UMatrix[UGenerator[SUNIndex[j_]]], ___]]] -> 0, UMatrix[UGenerator[LorentzIndex[_]]] -> 0, KroneckerDelta[LorentzIndex[_], SUNIndex[_]]^2 -> 9}

{HoldPattern[δ _ (μ_, j_) σ^j_] -> 0, HoldPattern[δ _ (μ_, j_) (___ '6 σ^j_ '6 ___)] -> 0, HoldPattern[δ _ (μ_, j_) < ___ '6 σ^j_ '6 ___ >] -> 0, UMatrix(σ(_)) -> 0, δ _ (_, _)^2 -> 9}

SetOptions[CovariantFieldDerivative, Explicit -> False] ;

test1 = CovariantNabla[HRight[x], x, {μ}] /. $Substitutions /. {GRight[LorentzIndex[mu_]] -> GRight[mu], GLeft[LorentzIndex[mu_]] -> GLeft[mu]} // NMExpand // Expand // UReduce

1/2 (∂ _ μ(öÆ)^† '6 Q _ R '6 öÆ) + öÆ^† '6 ∂ _ μ(Q _ R) '6 öÆ + 1/2 (öÆ^† '6 Q _ R '6 ∂ _ μ(öÆ)) + 1/2 (∂ _ μ(öÆ) '6 Q _ L '6 öÆ^†) + öÆ '6 ∂ _ μ(Q _ L) '6 öÆ^† + 1/2 (öÆ '6 Q _ L '6 ∂ _ μ(öÆ)^†) - 1/2 i (öÆ^† '6 G _ μ^R '6 Q _ R '6 öÆ) + 1/2 i (öÆ^† '6 Q _ R '6 G _ μ^R '6 öÆ) - 1/2 i (öÆ '6 G _ μ^L '6 Q _ L '6 öÆ^†) + 1/2 i (öÆ '6 Q _ L '6 G _ μ^L '6 öÆ^†) - 1/2 (∂ _ μ(öÆ)^† '6 öÆ '6 öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^†) - 1/2 (öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ '6 öÆ '6 ∂ _ μ(öÆ)^†) - 1/2 (∂ _ μ(öÆ) '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ) - 1/2 (öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 ∂ _ μ(öÆ)) - 1/2 i (öÆ^† '6 G _ μ^R '6 öÆ '6 öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^†) + 1/2 i (öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ '6 öÆ '6 G _ μ^L '6 öÆ^†) - 1/2 i (öÆ '6 G _ μ^L '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ) + 1/2 i (öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 G _ μ^R '6 öÆ)

test2 = Collect[ I/2 UCommutator[USmall[μ][x], HLeft[x]] + NM[Adjoint[SMM[x]], CQRight[μ][x], SMM[x]] + NM[SMM[x], CQLeft[μ][x], Adjoint[SMM[x]]] /. $Substitutions /. CovariantFieldDerivative[a_, x_, mu_] :> (FieldDerivative[a, x, {μ}] - I NM[GRight[μ][x], a] + I NM[a, GLeft[μ][x]]) /. MM[x] -> NM[SMM[x], SMM[x]] // NMExpand // Expand // UReduce, _NM]

1/2 (∂ _ μ(öÆ)^† '6 Q _ R '6 öÆ) + öÆ^† '6 ∂ _ μ(Q _ R) '6 öÆ + 1/2 (öÆ^† '6 Q _ R '6 ∂ _ μ(öÆ)) + 1/2 (∂ _ μ(öÆ) '6 Q _ L '6 öÆ^†) + öÆ '6 ∂ _ μ(Q _ L) '6 öÆ^† + 1/2 (öÆ '6 Q _ L '6 ∂ _ μ(öÆ)^†) - 1/2 i (öÆ^† '6 G _ μ^R '6 Q _ R '6 öÆ) + 1/2 i (öÆ^† '6 Q _ R '6 G _ μ^R '6 öÆ) - 1/2 i (öÆ '6 G _ μ^L '6 Q _ L '6 öÆ^†) + 1/2 i (öÆ '6 Q _ L '6 G _ μ^L '6 öÆ^†) - 1/2 (∂ _ μ(öÆ)^† '6 öÆ '6 öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^†) - 1/2 (öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ '6 öÆ '6 ∂ _ μ(öÆ)^†) - 1/2 (∂ _ μ(öÆ) '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ) - 1/2 (öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 ∂ _ μ(öÆ)) - 1/2 i (öÆ^† '6 G _ μ^R '6 öÆ '6 öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^†) + 1/2 i (öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ '6 öÆ '6 G _ μ^L '6 öÆ^†) - 1/2 i (öÆ '6 G _ μ^L '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ) + 1/2 i (öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 G _ μ^R '6 öÆ)

res = Collect[test1 - test2, _NM]

0

test1 = CovariantNabla[HLeft[x], x, {μ}] /. $Substitutions /. {GRight[LorentzIndex[mu_]] -> GRight[mu], GLeft[LorentzIndex[mu_]] -> GLeft[mu]} // NMExpand // Expand // UReduce

1/2 (∂ _ μ(öÆ)^† '6 Q _ R '6 öÆ) + öÆ^† '6 ∂ _ μ(Q _ R) '6 öÆ + 1/2 (öÆ^† '6 Q _ R '6 ∂ _ μ(öÆ)) - 1/2 (∂ _ μ(öÆ) '6 Q _ L '6 öÆ^†) - öÆ '6 ∂ _ μ(Q _ L) '6 öÆ^† - 1/2 (öÆ '6 Q _ L '6 ∂ _ μ(öÆ)^†) - 1/2 i (öÆ^† '6 G _ μ^R '6 Q _ R '6 öÆ) + 1/2 i (öÆ^† '6 Q _ R '6 G _ μ^R '6 öÆ) + 1/2 i (öÆ '6 G _ μ^L '6 Q _ L '6 öÆ^†) - 1/2 i (öÆ '6 Q _ L '6 G _ μ^L '6 öÆ^†) + 1/2 (∂ _ μ(öÆ)^† '6 öÆ '6 öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^†) - 1/2 (öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ '6 öÆ '6 ∂ _ μ(öÆ)^†) - 1/2 (∂ _ μ(öÆ) '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ) + 1/2 (öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 ∂ _ μ(öÆ)) + 1/2 i (öÆ^† '6 G _ μ^R '6 öÆ '6 öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^†) + 1/2 i (öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ '6 öÆ '6 G _ μ^L '6 öÆ^†) - 1/2 i (öÆ '6 G _ μ^L '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ) - 1/2 i (öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 G _ μ^R '6 öÆ)

test2 = Collect[ I/2 UCommutator[USmall[μ][x], HRight[x]] + NM[Adjoint[SMM[x]], CQRight[μ][x], SMM[x]] - NM[SMM[x], CQLeft[μ][x], Adjoint[SMM[x]]] /. $Substitutions /. CovariantFieldDerivative[a_, x_, mu_] :> (FieldDerivative[a, x, {μ}] - I NM[GRight[μ][x], a] + I NM[a, GLeft[μ][x]]) /. MM[x] -> NM[SMM[x], SMM[x]] // NMExpand // Expand // UReduce, _NM]

1/2 (∂ _ μ(öÆ)^† '6 Q _ R '6 öÆ) + öÆ^† '6 ∂ _ μ(Q _ R) '6 öÆ + 1/2 (öÆ^† '6 Q _ R '6 ∂ _ μ(öÆ)) - 1/2 (∂ _ μ(öÆ) '6 Q _ L '6 öÆ^†) - öÆ '6 ∂ _ μ(Q _ L) '6 öÆ^† - 1/2 (öÆ '6 Q _ L '6 ∂ _ μ(öÆ)^†) - 1/2 i (öÆ^† '6 G _ μ^R '6 Q _ R '6 öÆ) + 1/2 i (öÆ^† '6 Q _ R '6 G _ μ^R '6 öÆ) + 1/2 i (öÆ '6 G _ μ^L '6 Q _ L '6 öÆ^†) - 1/2 i (öÆ '6 Q _ L '6 G _ μ^L '6 öÆ^†) + 1/2 (∂ _ μ(öÆ)^† '6 öÆ '6 öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^†) - 1/2 (öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ '6 öÆ '6 ∂ _ μ(öÆ)^†) - 1/2 (∂ _ μ(öÆ) '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ) + 1/2 (öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 ∂ _ μ(öÆ)) + 1/2 i (öÆ^† '6 G _ μ^R '6 öÆ '6 öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^†) + 1/2 i (öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ '6 öÆ '6 G _ μ^L '6 öÆ^†) - 1/2 i (öÆ '6 G _ μ^L '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 Q _ R '6 öÆ) - 1/2 i (öÆ '6 Q _ L '6 öÆ^† '6 öÆ^† '6 G _ μ^R '6 öÆ)

res = Collect[test1 - test2, _NM]

0

HLeftRightTrick[exp_] := exp /. {CovariantNabla[HRight[x_], x_, {μ_}] -> I/2 UCommutator[USmall[μ][x], HLeft[x]] + NM[Adjoint[SMM[x]], CQRight[μ][x], SMM[x]] + NM[SMM[x], CQLeft[μ][x], Adjoint[SMM[x]]], CovariantNabla[HLeft[x_], x_, {μ_}] -> I/2 UCommutator[USmall[μ][x], HRight[x]] + NM[Adjoint[SMM[x]], CQRight[μ][x], SMM[x]] - NM[SMM[x], CQLeft[μ][x], Adjoint[SMM[x]]]}

Converted by Mathematica  (July 10, 2003)